全ての実数xについて、不等式x²+(k+2)x+(k+2)>0が成り立つような定数kの値の範囲を求め

x^2+(k+2)x+(k+2)>0

{x+(k+2)/2}^2-{(k+2)^2/4}+(k+2)>0
↓x=-(k+2)/2 とすると
-{(k+2)^2/4}+(k+2)>0
↓両辺に{(k+2)^2/4}-(k+2)を加えると
0>{(k+2)^2/4}-(k+2)
↓左右を入れ替えると
{(k+2)^2/4}-(k+2)<0
↓両辺に4をかけると
(k+2)^2-4(k+2)<0
(k+2){(k+2)-4}<0
(k+2)(k-2)<0
∴
-2<k<2

＞ 全ての実数xについて不等式 x²+(k+2)x+(k+2)>0 が成り立つような定数 k の値

を求めたら、k が −2, ²/₃ という解は出てきません。
k = −2 や k = ²/₃ の場合には、x²+(k+2)x+(k+2)=0 となる x が存在しますから。

解法を、根拠を抜きにして手順だけ曖昧に覚えているから、
＞ k が −2, ²/₃ という所
なんてものが登場してしまうんですよ。

＞kが−2、²/₃という所までは解けますが

どの様にして それを計算したのですか。
それを書いて欲しかったです。

2次式が 常に 正 と云う事は、グラフに書くと、
常に x 軸より 上にあると云う事です。
つまり x² の係数が 正 で、判別式が 負になる事です。
（これは 既に 習った筈。）
x²+(k+2)x+(k+2)>0 x² の係数は 1 で 正 ですから、
判別式が 負 になれば良い。
(判別式)=(k+2)²-4(k+2)=k²-4=(k-2)(k+2)<2
これを解いて -2<k<2 だと思うのですが。

＞答えはk>²/₃です。

違うと思いますよ。
k=2 とすれば k>2/3 の範囲にありますが、
元の式は x²+4x+4=(x+2)² で、x=-2 のとき 式の値は 0 になりますね。

１）判別式

２）頂点の位置

１）と２）で出たｋについての不等式の図を
合体すれば答えが出ますよ。

その「kが−2、²/₃という所までは解けますが」というのは, いったい何をどう考えて何を「解いた」の?