【茶道】表千家が三日月形、裏千家がきめ細かい均一の小さな泡が理想と伺いましたが、茶道

表・裏・武者小路ともに、お茶を点てる時に茶碗は傾けません。

そのまま点てるように練習しましょう。

私は雲伝心道流なのですが表千家の裏千家の間と言われており、それでもどっちかっていうと表千家なのですが傾けは時と場合でオッケーですよ？

陣点て（外での戦国時代の陣営でのお点前で野点とは別）の時や筒茶碗の時はやりますね。
陣点ては立って点てますし畳でもないので環境の悪さとか、外なので冷めにくい形状の筒茶碗を使う事もあるので傾けますよ。
私の筒茶碗の画像載せておきますね。
左の赤い茶碗ありますよね？あれが筒茶碗。
他のと比較できるように撮影したけど背が高いんですよ。
筒のように高くそして上の口が狭いんです。
だから見込み（茶碗の底の上の胴）も狭く通常通りでは綺麗に抹茶を混ぜることができないのです。
左の親指は茶碗のふちを、左の手の人差し指と中指、薬指で茶碗の底を指が入る程度持ち上げ傾けてお茶を点てますよ。

まあ通常世間一般のお点前の時に普通の茶碗ではあまりやりません。
だからといって型に捕らわれてしまうより美味しいお茶を点てたいと思うほうがいいかも。
私の流派は緩いんでそう習いました。
基本的に、質問者さんの習っているところで聞くのが一番正解です。
ほんと流派によって習うところによってそれぞれ微妙に違うのが茶道なので…。
ではでは。

抹茶の粉はミクロ単位に細かいのです。

ダマにならないように先で細かくほぐします。茶道という儀式をなさらずお茶を楽しむのなら泡立て器や攪拌機でもいいのです。