limn→∞、10∧n＝０？

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質問者：wonderlasting
質問日時：2025/05/06 17:38
回答数：13件

ある数学の頓智のような疑問です。10∧nで、nを∞に飛ばすと、その値は０になるというもの。
どういうことかというと、１の位からこの数字を表記すると、…000000000000となり、先頭は無限遠の彼方にあることになるから、いつまで経っても０以外の数字は表れない。だから、これは０だという主張です。先頭から始めて表記するとしたら、1000…000とでもなって、間の…で無限を表すことになる、というところでしょうが、このやり方を許すなら、例えば1/3=0.333…333と表わして一番最後の、末端を333としてもよいはずだ、ということになり、それは不自然だというのです。どんなものですかね？

1/3=0.333…に関して、これを0.333…333と表記することの不自然さというか不適当さについて。
1/3=0.333…333から両辺に３を掛けると、1=0.999…999となってしまいますが、すると、両辺から１を引いた時どうなるか？左辺＝0ですが、右辺=0.000…000 としてもよいのだろうか？という疑問が湧き起こるわけです。(それとも右辺＝0.000…001?or0.000…010…000？)

補足日時：2025/05/07 22:33
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補足の補足。先の補足に書いた0.999…999-1の計算では、結果がー(マイナス)になるかもしれませんので、念のため||をつけておいたほうがよいかと…ん、”－”？－0.000…001という可能性？
やはり、この表記は不適ですね。

補足日時：2025/05/08 21:59
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No.13

回答者：ありものがたり
回答日時：2025/05/09 00:33

0.333333.... も一意に定まる定数 1/3 なんだが。

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No.12

回答者：そこらへんの物知りな人
回答日時：2025/05/08 22:08

>1/3=0.3333....に関して、これを0.33333....333と表記することの不適当さについて。

不適当も何も、数学的に同値ではないですよ。

0.333333....と、0.333333...333は全く意味が違います。
前者は無限大に続いていく数字ですが、後者は一意に定まる定数です。

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No.11

回答者：ありものがたり
回答日時：2025/05/08 09:07

ちな、

lim[n→∞] 10^n を …000 と表記することが不自然か否かについては
No.8 の言うとおり。

小学校では言葉を間違えて教えてるけど、
10進数と 10進表記は別のものだからね。

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No.10

回答者：ありものがたり
回答日時：2025/05/08 08:56

←補足

＞ 1/3=0.333…に関して、これを0.333…333と表記することの不自然さ

おやおや、話題が変わってしまっているね。
0.333…333 (3がn個) は Σ[k=1..n] 3/10^k,
0.333… は lim[n→∞] Σ[k=1..n] 3/10^k で、
その２つは別のものです。
1/3 を 0.333…333 と表記したら不適切なのはあたりまえですよ。

lim[n→∞] 10^n = ∞ なのであって 10^n = ∞ ではないのと同じです。

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No.9

回答者：そこらへんの物知りな人
回答日時：2025/05/08 08:38

>補足について

「1=0.99999....」は直感的には違うように思いますが、数学的には正しいです。

0.99999...は、0.9+0.09+0.009+....と表現できます。
これは初項a1=0.9、公比r=0.1の無限等比数列です。

その和Sは、S=a/1-rです。
即ち、0.9/1-0.1=0.9/0.9=1
ゆえに0.99999=1です。

別の方法で、代数的な証明だと、
x=0.999999....とおく、
両辺に10をかけて、
10x=9.9999999....
両辺からxを引いて、
10x-x=9.999999...-0.99999...
9x=9
x=1

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No.8

回答者： eatern27
回答日時：2025/05/07 21:23

一般的な実数体を想定していれば、

lim 10^n
は収束しませんが、
一般的な位相構造とは異なるものを採用しても良いのであれば、
lim 10^n ‎ = 0
という状況を作る事自体はできます。

詳しく知る必要があるのであれば例えば「p進数」についてお調べ下さい。

このような考え方をする場合には、

>先頭から始めて表記するとしたら、
については、一般的な意味でlim 1/10^nを0.000…0001と「最後の桁」があるかのような表記をしないのと同様に、
lim 10^nを1000…000と「先頭の桁」があるかのような表記はしない、という話にしかならないかと。

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No.7

回答者： tknakamuri
回答日時：2025/05/07 10:54

先頭から見てゆけば、最初でゼロでないことはわかる(^^;

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No.6

回答者： mtrajcp
回答日時：2025/05/07 10:35

無限桁の自然数は存在しないのです

自然数nはどこまでも大きくはなるけれども
自然数nは有限桁なのです
10^nも有限桁なのです
決して無限桁になることはないのです

どんな大きな数K>0に対しても
N>K
となる自然数Nが存在して
n>N
となるどんな自然数nに対しても
10^n>n>N>K
となる
という状態を

lim[n→∞]10^n=∞

と定義したのです

決して10^nが無限桁になることはないのです